Tìm hiểu phương trình tương đương trong đại số

Hệ phương trình tương đương là hệ phương trình có cùng nghiệm. Nhận dạng và giải các phương trình tương đương là một kỹ năng có giá trị, không chỉ trong lớp đại số mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Hãy xem các ví dụ về phương trình tương đương, cách giải chúng cho một hoặc nhiều biến và cách bạn có thể sử dụng kỹ năng này bên ngoài lớp học.

phương trình tuyến tính với một biến

Các ví dụ đơn giản nhất của phương trình tương đương không có biến. Ví dụ, ba phương trình này tương đương với nhau:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Nhận ra rằng các phương trình này là tương đương là điều tuyệt vời, nhưng không đặc biệt hữu ích. Thông thường, một bài toán về phương trình tương đương yêu cầu bạn giải một biến để xem biến đó có cùng (cùng gốc ) với biến trong một phương trình khác hay không.

Ví dụ, các phương trình sau là tương đương:

• x = 5
• -2x = -10

Trong cả hai trường hợp, x = 5. Làm sao chúng ta biết được điều này? Làm thế nào để bạn giải quyết điều này cho phương trình “-2x = -10”? Bước đầu nắm được quy tắc viết đẳng thức tương đương:

• Cộng hoặc trừ cùng một số hoặc biểu thức cho cả hai vế của một phương trình sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
• Nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình cho cùng một số khác 0 sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
• Nâng cả hai vế của phương trình lên cùng một lũy thừa lẻ hoặc lấy cùng một căn lẻ sẽ tạo ra một phương trình tương đương.
• Nếu cả hai vế của một phương trình đều không âm , thì việc nâng cả hai vế của một phương trình lên cùng một lũy thừa chẵn hoặc lấy cùng một căn chẵn sẽ cho một phương trình tương đương.

Ví dụ

Áp dụng các quy tắc này vào thực tế, hãy xác định xem hai phương trình này có tương đương nhau không:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần tìm “x” cho mỗi phương trình . Nếu “x” giống nhau cho cả hai phương trình, thì chúng tương đương nhau. Nếu “x” khác (tức là các phương trình có gốc khác nhau), thì các phương trình không tương đương. Đối với phương trình đầu tiên:

• x + 2 = 7
• x + 2 – 2 = 7 – 2 (trừ cả hai vế cho cùng một số)
• x = 5

Đối với phương trình thứ hai:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 – 1 = 11 – 1 (trừ cả hai vế cho cùng một số)
• 2x = 10
• 2x/2 = 10/2 (bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số)
• x = 5

Vì vậy, có, hai phương trình là tương đương vì x = 5 trong mỗi trường hợp.

Phương Trình Thực Tế Tương Đương

Bạn có thể sử dụng các phương trình tương đương trong cuộc sống hàng ngày. Nó đặc biệt hữu ích khi mua sắm. Ví dụ, bạn thích một chiếc áo cụ thể. Một công ty đang chào bán áo phông với giá 6 đô la và phí vận chuyển là 12 đô la, trong khi một công ty khác chào bán áo phông với giá 7,50 đô la và phí vận chuyển là 9 đô la. Áo sơ mi nào có giá tốt nhất? Bạn sẽ phải mua bao nhiêu áo sơ mi (bạn có thể muốn mua cho bạn bè của mình) để giá cả hai công ty bằng nhau?

Để giải quyết vấn đề này, hãy để “x” là số lượng áo sơ mi. Để bắt đầu, hãy đặt x = 1 cho việc mua áo sơ mi. Đối với công ty số 1:

• Giá = 6x + 12 = (6)(1) + 12 = 6 + 12 = $18

Đối với công ty số 2:

• Giá = 7,5x + 9 = (1)(7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Vì vậy, nếu bạn đang mua một chiếc áo sơ mi, công ty thứ hai sẽ đưa ra mức giá tốt hơn.

Để tìm điểm mà tại đó các mức giá bằng nhau, hãy đặt “x” là số áo nhưng đặt hai phương trình bằng nhau. Giải “x” để biết bạn sẽ phải mua bao nhiêu áo sơ mi:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x – 7,5x = 9 – 12 ( trừ các số hoặc biểu thức giống nhau ở mỗi vế)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (chia cả hai vế cho cùng một số, -1)
• x = 3/1,5 (chia cả hai vế cho 1,5)
• x = 2

Nếu bạn mua hai chiếc áo, giá cả sẽ như nhau cho dù bạn lấy chúng ở đâu. Bạn có thể sử dụng phép toán tương tự để xác định công ty nào mang lại cho bạn thỏa thuận tốt hơn với các đơn đặt hàng lớn hơn và cũng để tính toán số tiền bạn sẽ tiết kiệm được bằng cách sử dụng công ty này so với công ty kia. Hãy nhìn xem, đại số rất hữu ích!

phương trình tương đương với hai biến

Nếu bạn có hai phương trình và hai ẩn số (x và y), bạn có thể xác định xem hai bộ phương trình tuyến tính có tương đương hay không.

Ví dụ: nếu bạn được đưa ra các phương trình:

• -3x + 12y = 15
• 7x – 10y = -2

Bạn có thể xác định xem hệ thống sau có tương đương không:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Để giải quyết vấn đề này , hãy tìm “x” và “y” cho mỗi hệ phương trình. Nếu các giá trị bằng nhau thì hệ phương trình tương đương.

Bắt đầu với bộ đầu tiên. Để giải hai phương trình với hai biến , hãy cô lập một biến và thế nghiệm của nó vào phương trình kia. Để tách biến “y”:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 – 12 năm
• x = -(15 – 12y)/3 = -5 + 4y (thay “x” vào phương trình thứ hai)
• 7x – 10y = -2
• 7(-5 + 4 năm) – 10 năm = -2
• -35 + 28 năm – 10 năm = -2
• 18 năm = 33
• và = 33/18 = 6/11

Bây giờ, cắm “y” trở lại vào bất kỳ phương trình nào để giải “x”:

• 7x – 10y = -2
• 7x = -2 + 10(6/11)

Làm việc với điều này, cuối cùng bạn sẽ nhận được x = 7/3.

Để trả lời câu hỏi, bạn có thể áp dụng các nguyên tắc tương tự cho tập phương trình thứ hai để giải “x” và “y” và thấy rằng có, chúng tương đương nhau. Bạn rất dễ bị mắc kẹt trong môn đại số, vì vậy bạn nên kiểm tra bài làm của mình bằng cách sử dụng công cụ giải phương trình trực tuyến .

Tuy nhiên, học sinh thông minh sẽ nhận thấy rằng hai bộ phương trình là tương đương mà không cần phải thực hiện bất kỳ phép tính khó khăn nào. Sự khác biệt duy nhất giữa phương trình đầu tiên của mỗi tập hợp là phương trình thứ nhất gấp ba lần phương trình thứ hai (tương đương). Phương trình thứ hai hoàn toàn giống nhau.