Trong thống kê toán học và xác suất, điều quan trọng là phải làm quen với lý thuyết tập hợp . Các phép toán cơ bản của lý thuyết tập hợp có mối liên hệ với các quy tắc nhất định trong phép tính xác suất. Tương tác của các phép toán hợp, giao và tập cơ bản này được giải thích bằng hai phát biểu được gọi là Định luật De Morgan . Sau khi ban hành các định luật này, chúng ta sẽ xem cách chứng minh chúng.
Tuyên bố pháp luật của De Morgan
Các định luật De Morgan liên quan đến sự tương tác của hợp , giao và bù . Nhớ lấy:
- Giao của các tập hợp A và B bao gồm tất cả các phần tử chung của A và B. Giao được ký hiệu là A ∩ B .
- Hợp của các tập hợp A và B bao gồm tất cả các phần tử nằm trong A hoặc B , bao gồm cả các phần tử của cả hai tập hợp. Giao điểm được kí hiệu là AU B .
- Phần bù của tập hợp A được tạo thành bởi tất cả các phần tử không phải là phần tử của A. Phần bù này được ký hiệu là A C .
Bây giờ chúng ta đã nhớ những phép toán cơ bản này, chúng ta sẽ xem phát biểu của Định luật De Morgan. Đối với mỗi cặp tập hợp A và B
- ( A ∩ B ) C = A C U B C .
- ( A U B ) C = A C ∩ B C .
Phác thảo chiến lược thử nghiệm
Trước khi chuyển sang phần chứng minh, chúng ta sẽ suy nghĩ về cách chứng minh các nhận định trên. Ta đang cố chứng minh hai tập hợp bằng nhau. Cách này được thực hiện trong một chứng minh toán học là bằng thủ tục bao hàm kép. Các phác thảo của phương pháp kiểm tra này là:
- Chứng minh rằng tập hợp ở bên trái dấu bằng của chúng ta là tập hợp con của tập hợp ở bên phải.
- Lặp lại quy trình theo hướng ngược lại, chứng tỏ rằng tập hợp bên phải là tập hợp con của tập hợp bên trái.
- Hai bước này cho phép chúng ta nói rằng các tập hợp trên thực tế bằng nhau. Chúng được tạo thành từ tất cả các yếu tố giống nhau.
Bằng chứng về một trong các định luật
Chúng ta sẽ xem cách chứng minh định luật De Morgan đầu tiên ở trên. Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng ( A ∩ B ) C là tập con của A C U B C .
- Đầu tiên, giả sử rằng x là một phần tử của ( A ∩ B ) C .
- Điều này có nghĩa là x không phải là phần tử của ( A ∩ B ).
- Vì giao điểm là tập hợp tất cả các phần tử chung của A và B , bước trước có nghĩa là x không thể là phần tử của cả A và B.
- Điều này có nghĩa là x phải là một phần tử của ít nhất một trong các tập hợp A C hoặc B C .
- Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là x là một phần tử của A C U B C
- Chúng tôi đã chỉ ra sự bao gồm của tập hợp con mong muốn.
Bản demo của chúng tôi hiện đã đi được một nửa. Để hoàn thành nó, chúng tôi hiển thị sự bao gồm của tập hợp con đối diện. Cụ thể hơn, chúng ta phải chứng minh rằng A C U B C là tập con của ( A ∩ B ) C .
- Chúng ta bắt đầu với một phần tử x trong tập hợp A C U B C .
- Điều này có nghĩa là x là một phần tử của A C hoặc x là một phần tử của B C .
- Do đó, x không phải là phần tử của ít nhất một trong các tập hợp A hoặc B.
- Khi đó x không thể là phần tử của cả A và B. Điều này có nghĩa là x là phần tử của ( A ∩ B ) C .
- Chúng tôi đã chỉ ra sự bao gồm của tập hợp con mong muốn.
Bằng chứng của pháp luật khác
Chứng minh của mệnh đề kia rất giống với chứng minh mà chúng ta đã vạch ra ở trên. Tất cả những gì bạn phải làm là hiển thị một tập hợp con của tập hợp ở cả hai bên của dấu bằng.
