Gemeinsame Parameter für die Wahrscheinlichkeitsverteilung sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Der Mittelwert gibt ein Maß für die Mitte an, und die Standardabweichung gibt an, wie breit die Verteilung ist. Zusätzlich zu diesen bekannten Parametern gibt es andere, die die Aufmerksamkeit auf andere Merkmale als den Spread oder die Mitte lenken. Ein solches Maß ist das der Asymmetrie . Die Schiefe bietet eine Möglichkeit, der Schiefe einer Verteilung einen numerischen Wert zuzuweisen.
Eine wichtige Verteilung, die wir untersuchen werden, ist die Exponentialverteilung. Wir werden sehen, wie man beweist, dass die Schiefe einer Exponentialverteilung 2 ist.
Exponentielle Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Wir beginnen mit der Erstellung des pdf für eine Exponentialverteilung. Jede dieser Verteilungen hat einen Parameter, der sich auf den Parameter des zugehörigen Poisson-Prozesses bezieht . Wir bezeichnen diese Verteilung als Exp(A), wobei A der Parameter ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für diese Verteilung ist:
f ( x ) = e – x /A /A, wobei x nicht negativ ist.
Hier ist dieKonstantemath e , was ungefähr 2,718281828 ist. Der Mittelwert und die Standardabweichung der Exponentialverteilung Exp(A) beziehen sich auf den Parameter A. Tatsächlich sind der Mittelwert und die Standardabweichung beide gleich A.
Definition von Asymmetrie
Die Schiefe wird durch einen Ausdruck definiert, der sich auf das dritte Moment des Mittelwerts bezieht. Dieser Ausdruck ist der erwartete Wert:
E[(X – μ) 3 /σ 3 ] = (E[X 3 ] – 3μ E[X 2 ] + 3μ 2 E[X] – μ 3 )/σ 3 = (E[X 3 ] – 3μ( σ 2 – μ 3 )/σ 3 .
Wir ersetzen μ und σ durch A, und das Ergebnis ist, dass die Schiefe E[X 3 ] / A 3 – 4 ist.
Es bleibt nur noch das dritte Moment um den Ursprung zu berechnen. Dazu müssen wir Folgendes integrieren:
∫ ∞ 0 X. 3 F. ( X. ) d X. .
Dieses Integral hat eine Unendlichkeit für einen seiner Grenzwerte. Daher kann es als uneigentliches Integral vom Typ I bewertet werden. Wir müssen auch bestimmen, welche Integrationstechnik verwendet werden soll. Da die zu integrierende Funktion das Produkt eines Polynoms und einer Exponentialfunktion ist, müssten wir partielle Integration verwenden . Diese Integrationstechnik wird mehrfach angewendet. Das Endergebnis ist das:
E[X 3 ] = 6A 3
Wir kombinieren dies dann mit unserer vorherigen Gleichung für die Schiefe. Wir sehen, dass die Asymmetrie 6 – 4 = 2 ist.
Transzendenz
Es ist wichtig zu beachten, dass das Ergebnis unabhängig von der spezifischen Exponentialverteilung ist, mit der wir beginnen. Die Asymmetrie der Exponentialverteilung hängt nicht vom Wert des Parameters A ab.
Außerdem sehen wir, dass das Ergebnis eine positive Asymmetrie ist. Das bedeutet, dass die Verteilung rechtsschief ist. Dies sollte uns nicht überraschen, wenn wir an die Form des Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion denken. Alle diese Verteilungen haben einen y-Achsenabschnitt als 1//Theta und einen Schwanz, der ganz rechts in der Grafik verläuft, was hohen Werten der Variablen x entspricht .
alternative Berechnung
Natürlich sollten wir auch erwähnen, dass es eine andere Möglichkeit gibt, die Schiefe zu berechnen. Wir können die momenterzeugende Funktion für die Exponentialverteilung verwenden. Die mit 0 bewertete erste Ableitung der momenterzeugenden Funktion ergibt E[X]. In ähnlicher Weise ergibt die dritte Ableitung der momenterzeugenden Funktion, wenn sie zu 0 ausgewertet wird, E(X 3 ).
